Номер 974 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена $a + b$ . Проверьте результат, умножив на $a + b$ многочлен, равный $(a + b)^5$ .

Краткое решение

1) Формула шестой степени:

(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6

2) Проверка (умножение):

(a + b)^5 \cdot (a + b) = (a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)(a + b) =

= a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5 +

+ a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6 =

= a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6

Результаты совпали.

Подробное решение

📚 Коэффициенты бинома

При возведении $(a + b)$ в степень $n$ :

Коэффициенты слагаемых соответствуют числам $n$ -й строки треугольника Паскаля.
Степень первого множителя $a$ уменьшается от $n$ до 0.
Степень второго множителя $b$ увеличивается от 0 до $n$ .

Подробный разбор решения

Шаг 1: Составление формулы

Для степени $n = 6$ коэффициенты равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Записываем слагаемые, соблюдая правила изменения степеней:

$1 \cdot a^6 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot b^6$

Шаг 2: Проверка умножением

Раскроем скобки, умножив каждый член пятой степени сначала на $a$ , затем на $b$ :

Умножаем на $a$ : $a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5$ .
Умножаем на $b$ : $a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6$ .
Складываем результаты и приводим подобные слагаемые. Например: $5a^5b + a^5b = 6a^5b$ , а $10a^4b^2 + 5a^4b^2 = 15a^4b^2$ .

В итоге получаем в точности ту же формулу, что и по треугольнику Паскаля.