№167. На рисунке 98 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD=CE, то ∠CAD=∠BAE и AB=AC; б) если ∠CAD=∠BAE, то BD=CE и AB=AC.
Дано:
(рис. 98) △ADE — равнобедренный
DE — основание ⇒AD=AE
B,C — на DE(D,B,C,E)
Доказать:
а) BD=CE⇒∠CAD=∠BAE,AB=AC
б) ∠CAD=∠BAE⇒BD=CE,AB=AC
Доказательство:
а) в△ABDи△ACE:AD=AE,
∠D=∠E(углыприосновании),BD=CE
⇒△ABD=△ACE(1-йпр.)⇒AB=AC
и∠BAD=∠CAE⇒
∠CAD=∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC=∠BAE
б) ∠CAD=∠BAE⇒вычтемобщий∠BAC:
∠BAD=∠CAE
в△ABDи△ACE:AD=AE,∠D=∠E,
∠BAD=∠CAE⇒△ABD=△ACE(2-йпр.)
⇒BD=CE,AB=AC
Что и требовалось доказать: оба утверждения — а) и б) — доказаны.
