Номер 180 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№180*. На сторонах угла $XO Y$ отмечены точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ так, что $O A = OB$ , $A C = B D$ (рис. 103). Прямые $A D$ и $BC$ пересекаются в точке $E$ . Докажите, что луч $OE$ — биссектриса угла $XO Y$ . Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Дано:

$∠ XO Y : A, C \in OX, B, D \in O Y$

$O A = OB, A C = B D, A D \cap BC = E$

Доказать:

$OE$ — биссектриса $∠ XO Y$

Чертёж к задаче 180 — угол XOY с точками A, B, C, D и биссектрисой OE

Доказательство:

OC = O A + A C = OB + B D = O D

△ O A D и △ OBC : O A = OB, O D = OC,

∠ O — общий \Rightarrow △ O A D = △ OBC (1- й пр .)

\Rightarrow ∠ O A D = ∠ OBC, ∠ O D A = ∠ OCB

∠ E A C, ∠ EB D — смежные с ними \Rightarrow ∠ E A C = ∠ EB D

△ A CE и △ B D E : A C = B D, ∠ E A C = ∠ EB D,

∠ A CE = ∠ OCB = ∠ O D A = ∠ B D E \Rightarrow равны (2- й пр .)

\Rightarrow A E = BE

△ O A E и △ OBE : O A = OB, A E = BE, OE — общая

\Rightarrow △ O A E = △ OBE (3- й пр .) \Rightarrow ∠ A OE = ∠ BOE

OE — биссектриса ∠ XO Y

Способ построения биссектрисы:

1) На сторонах угла отложим O A = OB

2) Дальше от точек A и B отложим A C = B D

3) Проведём A D и BC, E = A D \cap BC

4) Луч OE — искомая биссектриса

Что и требовалось доказать: $OE$ — биссектриса угла $XO Y$ .

Номер 180 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели