Номер 181 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№181*. При решении геометрических задач часто используют дополнительные построения. Одно из таких построений связано с методом удвоения медианы: если $A M$ — медиана треугольника $A BC$ , то строится отрезок $A K$ такой, что точка $M$ является его серединой. Докажите с помощью метода удвоения медианы, что треугольники $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ равны, если $A B = A_{1} B_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , $A M = A_{1} M_{1}$ , где $A M$ и $A_{1} M_{1}$ — медианы треугольников.

Дано:

$A M, A_{1} M_{1}$ — медианы $△ A BC$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

$A B = A_{1} B_{1}, A C = A_{1} C_{1}, A M = A_{1} M_{1}$

Доказать:

$△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Чертёж к задаче 181 — треугольники ABC и A1B1C1 с удвоенными медианами AK и A1K1

Доказательство:

Удвоим медианы : M K = A M, M_{1} K_{1} = A_{1} M_{1}

△ A BM и △ K CM : BM = MC (A M — медиана),

A M = M K, ∠ A MB = ∠ K MC (вертикальные)

\Rightarrow △ A BM = △ K CM (1- й пр .) \Rightarrow C K = A B

Аналогично C_{1} K_{1} = A_{1} B_{1}

△ A C K и △ A_{1} C_{1} K_{1} : C K = A B = A_{1} B_{1} = C_{1} K_{1},

A C = A_{1} C_{1}, A K = 2 A M = 2 A_{1} M_{1} = A_{1} K_{1}

\Rightarrow △ A C K = △ A_{1} C_{1} K_{1} (3- й пр .)

\Rightarrow ∠ M A C = ∠ M_{1} A_{1} C_{1}, ∠ A K C = ∠ A_{1} K_{1} C_{1}

∠ B A M = ∠ C K M = ∠ C_{1} K_{1} M_{1} = ∠ B_{1} A_{1} M_{1}

\Rightarrow ∠ A = ∠ B A M + ∠ M A C = ∠ A_{1}

\Rightarrow △ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1} (1- й пр .)

Что и требовалось доказать: $△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Номер 181 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели