Номер 309 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$a - прямая, A \in / a$

$A H ⊥ a$

$A M_{1}, A M_{2} - наклонные$

Доказать:

$а) H M_{1} = H M_{2} \Rightarrow A M_{1} = A M_{2}$

$б) H M_{1} < H M_{2} \Rightarrow A M_{1} < A M_{2}$

а) Если $H M_{1} = H M_{2}$ , то $A M_{1} = A M_{2}$ :

1) △ A H M_{1} и △ A H M_{2} - прямоугольные (∠ H = 9 0^{\circ})

2) A H - общий катет, H M_{1} = H M_{2} (по условию)

3) \Rightarrow △ A H M_{1} = △ A H M_{2} (по двум катетам)

4) \Rightarrow A M_{1} = A M_{2}

б) Если $H M_{1} < H M_{2}$ , то $A M_{1} < A M_{2}$ :

Случай 1: точки $M_{1}$ и $M_{2}$ лежат по одну сторону от $H$ .

1) в △ A H M_{1} (∠ H = 9 0^{\circ}) \Rightarrow ∠ A M_{1} H < 9 0^{\circ}

2) ∠ A M_{1} M_{2} = 18 0^{\circ} - ∠ A M_{1} H > 9 0^{\circ} (смежный)

3) в △ A M_{1} M_{2} угол ∠ A M_{1} M_{2} - наибольший (тупой)

4) против большего угла лежит большая сторона \Rightarrow A M_{2} > A M_{1}

Случай 2: точки $M_{1}$ и $M_{2}$ лежат по разные стороны от $H$ .

5) отложим на луче H M_{2} отрезок H M_{1}^{'} = H M_{1}

6) по пункту а) A M_{1}^{'} = A M_{1}

7) по случаю 1: A M_{1}^{'} < A M_{2} \Rightarrow A M_{1} < A M_{2}

Ответ: равным проекциям отвечают равные наклонные, а меньшей проекции — меньшая наклонная.