№318. В треугольнике с неравными сторонами AB и AC (AB>AC) проведены высота AH и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов B и C.
Дано:
△ABC,AB>AC
AH−высота,AH⊥BC
AD−биссектриса∠A
Доказать:
∠HAD=2∠C−∠B
Доказательство:
1)лучAHлежитвнутриуглаDAC,поэтому
∠HAD=∠CAD−∠CAH
2)AD−биссектриса⇒∠CAD=2∠A
3)в△AHC(∠H=90∘):∠CAH=90∘−∠C
4)подставимвравенствоизпункта 1:
∠HAD=2∠A−(90∘−∠C)=2∠A−90∘+∠C
5)потеоремеосуммеуглов∠A+∠B+∠C=180∘,значит
90∘=2∠A+∠B+∠C
6)∠HAD=2∠A−2∠A+∠B+∠C+∠C=
=2∠A−∠A−∠B−∠C+2∠C=2∠C−∠B
Ответ:∠HAD=2∠C−∠B — угол между высотой и биссектрисой равен полуразности углов при основании.
