Номер 311 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№311. Докажите, что в треугольнике $A BC$ медиана $A M$ меньше полусуммы сторон $A B$ и $A C$ .

Дано:

$△ A BC$

$A M - медиана, BM = MC$

Доказать:

$A M < \frac{A B + A C}{2}$

Дополнительное построение:

продлим A M за точку M и отложим M D = A M

Доказательство:

1) рассмотрим △ A MB и △ D MC :

A M = M D (по построению)

BM = MC (A M - медиана)

∠ A MB = ∠ D MC (вертикальные)

2) \Rightarrow △ A MB = △ D MC (по двум сторонам и углу между ними)

3) \Rightarrow A B = C D

4) в △ A C D по неравенству треугольника : A D < A C + C D

5) A D = 2 A M и C D = A B \Rightarrow 2 A M < A C + A B

6) A M < \frac{A B + A C}{2} - что и требовалось доказать

Ответ: $A M < \frac{A B + A C}{2}$ — медиана меньше полусуммы двух сторон, выходящих из той же вершины.