Номер 313 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№313. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Дано:

$△ A BC$

$M - точка внутри △ A BC$

Доказать:

$M A + MB + MC < P_{A BC}$

$(P_{A BC} = A B + BC + A C)$

Доказательство:

по задаче 312 сумма расстояний от внутренней точки до двух вершин

меньше суммы двух сторон, выходящих из третьей вершины . Запишем это

для каждой пары вершин :

1) MB + MC < A B + A C

2) M A + MC < A B + BC

3) M A + MB < A C + BC

4) сложим все три неравенства почленно :

2 M A + 2 MB + 2 MC < 2 A B + 2 BC + 2 A C

5) разделим обе части на 2 :

M A + MB + MC < A B + BC + A C = P_{A BC}

Ответ: $M A + MB + MC < P_{A BC}$ — сумма расстояний от внутренней точки до вершин меньше периметра.