Номер 395 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№395. Прямые $A B$ и $A C$ — касательные к окружности с центром $O$ , $B$ и $C$ — точки касания. Через произвольную точку $X$ , взятую на дуге $BC$ , проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки $A B$ и $A C$ в точках $M$ и $N$ . Докажите, что периметр треугольника $A MN$ и величина угла $MON$ не зависят от выбора точки $X$ на дуге $BC$ .

Дано:

$A B$ и $A C$ — касательные, $B$ и $C$ — точки касания

$X \in дуге BC$

$MN$ — касательная в точке $X$ , $M \in A B, N \in A C$

Доказать:

$P_{A MN} и ∠ MON не зависят от X$

то есть выражаются через $A B$ и $∠ BOC$

Чертёж к задаче 395 — окружность, две касательные из точки A и касательная MN в точке X

Доказательство:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

A B = A C, MB = MX, NC = NX

Периметр:

P_{A MN} = A M + MN + N A = A M + (MX + XN) + N A

= (A M + MB) + (NC + N A) = A B + A C = 2 A B

Угол:

△ OBM = △ OXM (OB = OX - радиусы, MB = MX, OM - общая)

\Rightarrow ∠ MOB = ∠ MOX, то есть OM - биссектриса ∠ BOX

так же ON - биссектриса ∠ XOC

∠ MON = ∠ MOX + ∠ XON = \frac{1}{2} ∠ BOX + \frac{1}{2} ∠ XOC = \frac{1}{2} ∠ BOC

Длина $A B$ и угол $∠ BOC$ заданы положением точки $A$ и от выбора $X$ не зависят, поэтому не зависят от $X$ ни периметр, ни угол.

Ответ: $P_{A MN} = 2 A B$ и $∠ MON = \frac{1}{2} ∠ BOC$ — обе величины от выбора $X$ не зависят — что и требовалось доказать.

Номер 395 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели