Номер 400 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№400. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром $O_{1}$ , и около него описана окружность с центром $O_{2}$ . Докажите, что точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Дано:

$△ A BC : A B = A C$

$BC$ — основание, $M - середина BC$

$O_{1}$ — центр вписанной, $O_{2}$ — центр описанной окружности

Доказать:

$O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на серединном перпендикуляре к $BC$

Чертёж к задаче 400 — равнобедренный треугольник с вписанной и описанной окружностями

Доказательство:

Проведём медиану $A M$ к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой:

1) BM = MC и A M ⊥ BC \Rightarrow A M - серединный перпендикуляр к BC

2) O_{2} - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам

\Rightarrow O_{2} лежит на серединном перпендикуляре к BC

3) O_{1} - точка пересечения биссектрис

Биссектриса угла $A$ лежит на прямой $A M$ , поэтому

O_{1} \in A M \Rightarrow O_{1} лежит на серединном перпендикуляре к BC

Обе точки лежат на одной и той же прямой $A M$ .

Ответ: оба центра лежат на прямой $A M$ — серединном перпендикуляре к основанию $BC$ — что и требовалось доказать.

Номер 400 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели