Номер 399 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$O - центр окружности, описанной около △ A BC$

$A M$ — медиана, $M - середина BC$

$O \in A M$

Доказать:

$△ A BC равнобедренный или прямоугольный$

Доказательство:

Центр описанной окружности равноудалён от $B$ и $C$ , поэтому лежит на серединном перпендикуляре к $BC$ . На нём же лежит и середина $M$ стороны $BC$ .

Чертёж к задаче 399 — случай 1: медиана AM совпала с серединным перпендикуляром к BC

1 случай: $O \neq = M$ .

O и M лежат на серединном перпендикуляре к BC

\Rightarrow OM - серединный перпендикуляр к BC (через две точки — одна прямая)

Но $O$ и $M$ лежат и на медиане $A M$ , значит медиана лежит на той же прямой:

A \in серединному перпендикуляру к BC \Rightarrow A B = A C

\Rightarrow △ A BC равнобедренный

Чертёж к задаче 399 — случай 2: центр попал в середину BC, BC — диаметр

2 случай: $O = M$ .

M A = MB = MC = R (радиусы)

△ A BM : M A = MB \Rightarrow ∠ B A M = ∠ B

△ A CM : M A = MC \Rightarrow ∠ C A M = ∠ C

∠ A = ∠ B A M + ∠ C A M = ∠ B + ∠ C

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} \Rightarrow 2∠ A = 18 0^{\circ}

\Rightarrow ∠ A = 9 0^{\circ}, △ A BC прямоугольный

Других случаев нет.

Ответ: треугольник равнобедренный (если центр не совпал с серединой стороны) либо прямоугольный (если совпал) — что и требовалось доказать.

Номер 399 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели