Номер 393 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№393. Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.

Дано:

$p - ось симметрии △ A BC$

Доказать:

$△ A BC - равнобедренный$

$p - серединный перпендикуляр к основанию$

Доказательство:

Вершины $A$ , $B$ , $C$ не лежат на одной прямой, поэтому хотя бы одна из них не лежит на оси. Пусть это $B$ .

1) при симметрии относительно p треугольник переходит в себя,

поэтому B симметрична C или A

Пусть $B$ и $C$ симметричны относительно $p$ . Тогда $A$ не может быть симметрична ни $B$ , ни $C$ :

2) A симметрична сама себе \Rightarrow A \in p

3) A B и A C симметричны относительно p \Rightarrow A B = A C

\Rightarrow △ A BC равнобедренный с основанием BC

4) B и C симметричны относительно p \Rightarrow p ⊥ BC и BM = MC

\Rightarrow p - серединный перпендикуляр к основанию BC

Ответ: треугольник с осью симметрии равнобедренный, а его ось — серединный перпендикуляр к основанию — что и требовалось доказать.