Номер 398 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC - разносторонний$

$A B \neq = BC \neq = C A$

Выяснить:

может ли вершина лежать на серединном перпендикуляре к стороне

Решение:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов (теорема о серединном перпендикуляре). Разберём два случая.

1) Серединный перпендикуляр к противолежащей стороне.

Пусть вершина $A$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к стороне $BC$ :

A \in m \Rightarrow A B = A C

Но в разностороннем треугольнике все стороны различны — противоречие.

2) Серединный перпендикуляр к стороне, выходящей из этой вершины.

Пусть $A$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A B$ :

AA = A B \Rightarrow A B = 0

Это невозможно: $A$ и $B$ — разные точки.

Оба случая отпадают.

\Rightarrow вершина разностороннего треугольника не лежит ни на одном из трёх серединных перпендикуляров

Ответ: нет, не может: иначе две стороны треугольника оказались бы равными.