Номер 405 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№405. Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Дано:

$△ A BC : A B = A C$

$A H$ — высота, проведённая к основанию $BC$

Доказать:

прямая $A H$ — ось симметрии $△ A BC$

Доказательство:

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой:

1) A H ⊥ BC и B H = H C \Rightarrow A H - серединный перпендикуляр к BC

2) \Rightarrow B и C симметричны относительно прямой A H

3) A \in A H \Rightarrow A симметрична сама себе

При симметрии относительно $A H$ отрезок переходит в отрезок с симметричными концами, поэтому

A B \to A C, A C \to A B, BC \to CB

Каждая сторона перешла в сторону того же треугольника, значит весь треугольник перешёл в себя: прямая $A H$ — его ось симметрии.

Ответ: прямая, содержащая высоту к основанию, — ось симметрии равнобедренного треугольника — что и требовалось доказать.