Номер 394 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$A B$ — хорда окружности с центром $O$

$A B$ не диаметр

прямые $a$ и $b$ — касательные в точках $A$ и $B$

Доказать:

$a$ и $b$ пересекаются

Доказательство:

Предположим противное: касательные $a$ и $b$ не пересекаются.

Совпасть они не могут: касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, а $A$ и $B$ различны. Значит, остаётся случай $a ∥ b$ .

1) O A ⊥ a, OB ⊥ b (свойство касательной)

2) a ∥ b и O A ⊥ a \Rightarrow O A ⊥ b

Через точку $O$ проведены две прямые, перпендикулярные прямой $b$ . Но такая прямая единственна, поэтому они совпадают:

3) A, O, B лежат на одной прямой \Rightarrow A B - диаметр

Это противоречит условию: $A B$ не диаметр. Значит, предположение неверно и касательные пересекаются.

Ответ: касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, пересекаются — что и требовалось доказать.