Номер 404 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№404. Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой $a$ , перпендикулярны.

Дано:

$b ⊥ c$

$b \cap c = M$

$b_{1}$ и $c_{1}$ симметричны $b$ и $c$ относительно $a$

Доказать:

$b_{1} ⊥ c_{1}$

Чертёж к задаче 404 — перпендикулярные прямые b и c, ось a и симметричные им прямые b1 и c1

Доказательство:

Отметим точку $P$ на прямой $b$ и точку $Q$ на прямой $c$ (обе отличны от $M$ ). Пусть $M_{1}$ , $P_{1}$ , $Q_{1}$ — симметричные им точки; они лежат на $b_{1}$ и $c_{1}$ .

При осевой симметрии расстояние между точками сохраняется (теорема п. 45), поэтому

MP = M_{1} P_{1}, MQ = M_{1} Q_{1}, PQ = P_{1} Q_{1}

\Rightarrow △ MPQ = △ M_{1} P_{1} Q_{1} (по трём сторонам)

\Rightarrow ∠ P_{1} M_{1} Q_{1} = ∠ PMQ = 9 0^{\circ}

Прямые $b_{1}$ и $c_{1}$ проходят через точку $M_{1}$ и образуют прямой угол, значит они перпендикулярны.

Ответ: прямые, симметричные двум перпендикулярным, перпендикулярны — что и требовалось доказать.

Номер 404 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели