№409. Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
По задаче 393 треугольник с осью симметрии равнобедренный, а его ось — серединный перпендикуляр к основанию. Значит каждая из осей и — серединный перпендикуляр к какой-то стороне. К одной стороне такой перпендикуляр только один, а и различны, поэтому это перпендикуляры к разным сторонам.
Тогда он равнобедренный и с основанием : . По задаче 405 прямая, содержащая высоту из вершины к стороне , — тоже ось симметрии, и это третья ось.
Ответ: треугольник с двумя осями симметрии равносторонний, а у него есть и третья ось — что и требовалось доказать.
