Номер 408 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$A B$ и $C D$ — хорды окружности с центром $O$

$A B = C D$

$A B \cap C D = P$

$d$ — диаметр, проходящий через $P$

Доказать:

$A B$ и $C D$ симметричны относительно прямой $d$

Чертёж к задаче 408 — окружность, две равные хорды и диаметр через точку их пересечения

Доказательство:

Если бы точка $P$ совпала с центром, обе хорды были бы диаметрами; считаем, что это не так, тогда прямая $d$ — это прямая $OP$ .

Опустим из центра перпендикуляры $O K$ и $O L$ на хорды. По задаче 341 равные хорды равноудалены от центра:

1) O K = O L

2) △ O K P и △ O L P - прямоугольные, OP - общая гипотенуза

\Rightarrow △ O K P = △ O L P (по гипотенузе и катету)

\Rightarrow ∠ OP K = ∠ OP L

Значит прямая $d$ — биссектриса угла между лучами $P K$ и $P L$ , и при симметрии относительно $d$ луч $P K$ переходит в луч $P L$ , то есть прямая $A B$ — в прямую $C D$ .

3) d проходит через O \Rightarrow окружность переходит в себя (задача 407)

Хорда — это общая часть окружности и прямой, поэтому хорда $A B$ переходит в общую часть окружности и прямой $C D$ , то есть в хорду $C D$ .

Ответ: равные хорды симметричны относительно диаметра, проходящего через точку их пересечения — что и требовалось доказать.

Номер 408 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели