Номер 418 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Доказательство:

Возьмём две из данных точек, $A$ и $B$. По условию на прямой $AB$ лежит ещё одна из данных точек — назовём её $C$, а прямую $AB$ обозначим $d$. Остальные три точки назовём $D$, $E$, $F$.

Докажем, что точка $D$ лежит на $d$. Предположим противное: $D\notin d$. Проведём прямые $DA$, $DB$ и $DC$. Это три разные прямые: если бы, например, $DA$ и $DB$ совпали, то точка $D$ лежала бы на прямой $AB$, то есть на $d$.

По условию на прямой $DA$ лежит ещё одна из данных точек, кроме $D$ и $A$. Это не $B$ и не $C$: иначе прямая $DA$ имела бы с $d$ две общие точки и совпала бы с ней. Значит, на $DA$ лежит $E$ или $F$. Точно так же на $DB$ и на $DC$ лежит $E$ или $F$.

Прямых три, а точек $E$ и $F$ — две, поэтому одна из них — пусть $E$ — лежит на двух из этих прямых, например на $DA$ и $DB$. Но две разные прямые имеют не больше одной общей точки, а общая точка $DA$ и $DB$ — это $D$:

Это невозможно: $D$ и $E$ — разные точки. Противоречие, значит, $D\in d$.

Точно так же $E\in d$ и $F\in d$. Итак, все шесть точек лежат на прямой $d$.