Номер 428 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ , $A B = A C$ , $∠ B A C = 8 0^{\circ}$

$∠ MBC = 3 0^{\circ}$ , $∠ MCB = 1 0^{\circ}$

Найти:

$∠ A MC$

Чертёж к задаче 428 — равнобедренный треугольник ABC, точка M внутри, точка O на пересечении биссектрисы угла A и прямой BM

Решение:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

∠ A BC = ∠ A CB = \frac{18 0 ^{\circ} - 8 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}

Проведём биссектрису угла $A$ (она пересекает $BC$ в точке $H$ ) и отметим точку $O$ — её пересечение с прямой $BM$ . В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине — серединный перпендикуляр к основанию, а точки серединного перпендикуляра равноудалены от $B$ и $C$ :

OB = OC \Rightarrow ∠ OCB = ∠ OBC = 3 0^{\circ}

Так как $1 0^{\circ} < 3 0^{\circ}$ , луч $CM$ идёт внутри угла $OCB$ и пересекает отрезок $BO$ , то есть точка $M$ лежит между $B$ и $O$ . Найдём углы при вершине $C$ :

∠ OC A = 5 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 2 0^{\circ}

∠ OCM = 3 0^{\circ} - 1 0^{\circ} = 2 0^{\circ}

Ещё два угла:

∠ O A C = \frac{8 0 ^{\circ}}{2} = 4 0^{\circ}

∠ OMC = ∠ MBC + ∠ MCB = 3 0^{\circ} + 1 0^{\circ} = 4 0^{\circ} (внешний угол △ MBC)

В треугольниках $A OC$ и $MOC$ общая сторона $OC$ , $∠ OC A = ∠ OCM$ и $∠ O A C = ∠ OMC$ . По стороне и двум углам (задача 179) они равны:

△ A OC = △ MOC \Rightarrow O A = OM

Угол $A OB$ — внешний угол треугольника $OB H$ при вершине $O$ (угол $H$ прямой):

∠ A OM = ∠ A OB = ∠ OB H + ∠ O H B = 3 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Треугольник $A OM$ равнобедренный ( $O A = OM$ ):

∠ OM A = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

Луч $MO$ лежит внутри угла $A MC$ , поэтому

∠ A MC = ∠ A MO + ∠ OMC = 3 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

Ответ: $7 0^{\circ}$ .

Номер 428 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели