Номер 420 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№420. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

$△ A BC$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

$∠ A = ∠ A_{1}, A C = A_{1} C_{1}$

$A B + BC = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1}$

Доказать:

$△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Чертёж к задаче 420 — треугольники ABC и A1B1C1, стороны AB и A1B1 продолжены на BD = BC и B1D1 = B1C1

Доказательство:

Продолжим сторону $A B$ за точку $B$ на отрезок $B D = BC$ , а сторону $A_{1} B_{1}$ за точку $B_{1}$ на отрезок $B_{1} D_{1} = B_{1} C_{1}$ . Тогда

A D = A B + BC = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} = A_{1} D_{1}

1) Треугольники $A D C$ и $A_{1} D_{1} C_{1}$ .

A D = A_{1} D_{1}, A C = A_{1} C_{1}, ∠ D A C = ∠ D_{1} A_{1} C_{1} (это ∠ A и ∠ A_{1})

\Rightarrow △ A D C = △ A_{1} D_{1} C_{1} (по двум сторонам и углу между ними)

\Rightarrow D C = D_{1} C_{1}, ∠ A D C = ∠ A_{1} D_{1} C_{1}

2) Треугольники $BC D$ и $B_{1} C_{1} D_{1}$ .

Точка $B$ лежит на отрезке $A D$ , поэтому $∠ B D C = ∠ A D C$ ; так же $∠ B_{1} D_{1} C_{1} = ∠ A_{1} D_{1} C_{1}$ . Треугольники $BC D$ и $B_{1} C_{1} D_{1}$ равнобедренные, углы при основаниях равны:

∠ BC D = ∠ B D C = ∠ B_{1} D_{1} C_{1} = ∠ B_{1} C_{1} D_{1}

\Rightarrow △ BC D = △ B_{1} C_{1} D_{1} (по стороне D C = D_{1} C_{1} и двум прилежащим углам)

\Rightarrow B D = B_{1} D_{1} \Rightarrow A B = A D - B D = A_{1} D_{1} - B_{1} D_{1} = A_{1} B_{1}

3) Треугольники $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

A B = A_{1} B_{1}, A C = A_{1} C_{1}, ∠ A = ∠ A_{1}

\Rightarrow △ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1} (по двум сторонам и углу между ними)

Ответ: такие треугольники равны — что и требовалось доказать.

Номер 420 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели