Номер 419 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№419. Точки $C_{1}$ и $C_{2}$ лежат по разные стороны от прямой $A B$ и расположены так, что $A C_{1} = B C_{2}$ и $∠ B A C_{1} = ∠ A B C_{2}$ . Докажите, что прямая $C_{1} C_{2}$ проходит через середину отрезка $A B$ .

Дано:

$C_{1}$ и $C_{2}$ — по разные стороны от прямой $A B$

$A C_{1} = B C_{2}$ , $∠ B A C_{1} = ∠ A B C_{2}$

$O$ — середина $A B$

Доказать:

прямая $C_{1} C_{2}$ проходит через $O$

Чертёж к задаче 419 — отрезок AB с серединой O и точки C1 и C2 по разные стороны от него

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $A O C_{1}$ и $BO C_{2}$ :

1) A O = BO (O - середина A B)

2) A C_{1} = B C_{2} (по условию)

3) ∠ O A C_{1} = ∠ OB C_{2} (это углы B A C_{1} и A B C_{2})

\Rightarrow △ A O C_{1} = △ BO C_{2} (по двум сторонам и углу между ними)

\Rightarrow ∠ A O C_{1} = ∠ BO C_{2}

Пусть $OX$ — продолжение луча $C_{1} O$ за точку $O$ . Углы $A O C_{1}$ и $BOX$ вертикальные, поэтому

∠ BOX = ∠ A O C_{1} = ∠ BO C_{2}

Лучи $OX$ и $O C_{2}$ лежат по одну сторону от прямой $A B$ — там, где нет точки $C_{1}$ , — и образуют с лучом $OB$ равные углы. От луча в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный данному, поэтому лучи $OX$ и $O C_{2}$ совпадают.

\Rightarrow C_{1}, O, C_{2} лежат на одной прямой

Значит, прямая $C_{1} C_{2}$ проходит через середину $O$ отрезка $A B$ .

Ответ: прямая $C_{1} C_{2}$ проходит через середину отрезка $A B$ — что и требовалось доказать.

Номер 419 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели