Номер 425 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№425. Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Дано:

$△ A BC$

прямые через $A$ , $B$ , $C$ перпендикулярны биссектрисам из этих вершин

Доказать:

углы трёх образовавшихся треугольников соответственно равны

Чертёж к задаче 425 — треугольник ABC и три прямые через его вершины, перпендикулярные биссектрисам; точки пересечения P, Q, R

Доказательство:

Пусть прямые, проведённые через $A$ и $B$ , пересекаются в точке $P$ , через $B$ и $C$ — в точке $Q$ , через $C$ и $A$ — в точке $R$ . Получились треугольники $A BP$ , $BCQ$ и $C A R$ .

Биссектриса угла $A$ составляет со стороной $A B$ угол $\frac{∠ A}{2}$ , а с прямой, проведённой через $A$ , — прямой угол. Сторона $A B$ лежит между ними, поэтому

∠ B A P = ∠ C A R = 9 0^{\circ} - \frac{∠ A}{2} = x

Точно так же при вершинах $B$ и $C$ :

∠ A BP = ∠ CBQ = 9 0^{\circ} - \frac{∠ B}{2} = y

∠ BCQ = ∠ A CR = 9 0^{\circ} - \frac{∠ C}{2} = z

Сложим три угла:

x + y + z = 27 0^{\circ} - \frac{∠ A + ∠ B + ∠ C}{2} = 27 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Третьи углы треугольников находим из суммы углов треугольника (лучи $A P$ и $BP$ пересекаются, так как $x + y = 18 0^{\circ} - z < 18 0^{\circ}$ ):

∠ P = 18 0^{\circ} - x - y = z

∠ Q = 18 0^{\circ} - y - z = x

∠ R = 18 0^{\circ} - z - x = y

Итак, у каждого из трёх треугольников углы равны $x$ , $y$ , $z$ :

△ A BP : x, y, z △ BCQ : y, z, x △ C A R : z, x, y

Ответ: углы треугольников $A BP$ , $BCQ$ и $C A R$ соответственно равны: $9 0^{\circ} - \frac{∠ A}{2}$ , $9 0^{\circ} - \frac{∠ B}{2}$ , $9 0^{\circ} - \frac{∠ C}{2}$ — что и требовалось доказать.

Номер 425 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели