Номер 427 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№427. Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

Дано:

$△ A BC$ , $A M$ — медиана ( $BM = MC$ )

Доказать:

$A M > BM$ ⇒ угол $A$ острый

$A M = BM$ ⇒ угол $A$ прямой

$A M < BM$ ⇒ угол $A$ тупой

Доказательство:

Точка $M$ — середина $BC$ , значит $BM = MC$ — это половина стороны $BC$ . Луч $A M$ лежит внутри угла $A$ :

∠ A = ∠ B A M + ∠ M A C

1) Медиана больше половины стороны: $A M > BM = MC$ .

Чертёж к задаче 427 — медиана AM больше половины BC, угол A острый

Против большей стороны лежит больший угол. В треугольниках $A BM$ и $A MC$ :

A M > BM \Rightarrow ∠ B > ∠ B A M

A M > MC \Rightarrow ∠ C > ∠ M A C

Сложим неравенства и вспомним, что $∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A$ :

∠ B + ∠ C > ∠ B A M + ∠ M A C = ∠ A

18 0^{\circ} - ∠ A > ∠ A \Rightarrow ∠ A < 9 0^{\circ}

2) Медиана равна половине стороны: $A M = BM = MC$ .

Чертёж к задаче 427 — медиана AM равна половине BC, вершина A лежит на окружности с диаметром BC

Треугольники $A BM$ и $A MC$ равнобедренные, углы при основаниях равны:

∠ B = ∠ B A M, ∠ C = ∠ M A C

∠ B + ∠ C = ∠ A \Rightarrow 18 0^{\circ} - ∠ A = ∠ A \Rightarrow ∠ A = 9 0^{\circ}

3) Медиана меньше половины стороны: $A M < BM = MC$ .

Чертёж к задаче 427 — медиана AM меньше половины BC, вершина A лежит внутри окружности

Против меньшей стороны лежит меньший угол:

A M < BM \Rightarrow ∠ B < ∠ B A M

A M < MC \Rightarrow ∠ C < ∠ M A C

∠ B + ∠ C < ∠ A \Rightarrow 18 0^{\circ} - ∠ A < ∠ A \Rightarrow ∠ A > 9 0^{\circ}

Ответ: медиана больше половины стороны — угол острый, равна — прямой, меньше — тупой — что и требовалось доказать.

Номер 427 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели