Номер 417 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Доказательство:

Возьмём две из данных прямых, $a$ и $b$, и точку их пересечения $A$. По условию через $A$ проходит ещё одна из данных прямых — назовём её $c$. Остальные три прямые обозначим $d$, $e$, $f$.

Докажем, что прямая $d$ тоже проходит через $A$. Предположим противное: $A\notin d$. Прямая $d$ пересекает $a$, $b$ и $c$ в точках

Эти точки различны: если бы, например, $P=Q$, то эта точка была бы общей для $a$ и $b$, то есть совпала бы с $A$, а точка $A$ на $d$ не лежит.

По условию через $P$ проходит ещё одна из данных прямых, кроме $a$ и $d$. Это не $b$ и не $c$: они пересекают прямую $a$ только в точке $A$. Значит, через $P$ проходит $e$ или $f$. Точно так же через $Q$ и через $R$ проходит $e$ или $f$.

Точек три, а прямых $e$ и $f$ — две, поэтому одна из них — пусть $e$ — проходит через две из этих точек, например через $P$ и $Q$. Но через две точки проходит только одна прямая:

Это невозможно: $d$ и $e$ — разные прямые. Противоречие, значит, $d$ проходит через $A$.

Точно так же через $A$ проходят $e$ и $f$. Итак, все шесть прямых проходят через точку $A$.