Номер 415 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№415. Пусть угол $hk$ — меньший из двух смежных углов $hk$ и $h l$ . Докажите, что $∠ hk = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)$ , $∠ h l = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)$ .

Дано:

$∠ hk$ и $∠ h l$ — смежные

$∠ hk < ∠ h l$

Доказать:

$∠ hk = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)$

$∠ h l = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)$

Чертёж к задаче 415 — смежные углы hk и hl и луч m, перпендикулярный прямой kl

Доказательство:

Сумма смежных углов равна $18 0^{\circ}$ , поэтому их полусумма равна $9 0^{\circ}$ :

∠ hk + ∠ h l = 18 0^{\circ} \Rightarrow \frac{1}{2} (∠ hk + ∠ h l) = 9 0^{\circ}

Каждый из двух углов можно записать через их полусумму и полуразность — если раскрыть скобки, справа останется ровно левая часть:

∠ hk = \frac{1}{2} (∠ hk + ∠ h l) - \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)

∠ h l = \frac{1}{2} (∠ hk + ∠ h l) + \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)

Подставим вместо полусуммы $9 0^{\circ}$ :

∠ hk = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)

∠ h l = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} (∠ h l - ∠ hk)

Смысл формул виден на чертеже: если $m$ — луч, перпендикулярный прямой $k l$ , то $∠ hk = 9 0^{\circ} - ∠ hm$ и $∠ h l = 9 0^{\circ} + ∠ hm$ , то есть полуразность смежных углов — это угол между лучами $h$ и $m$ .

Ответ: оба равенства следуют из того, что сумма смежных углов равна $18 0^{\circ}$ — что и требовалось доказать.

Номер 415 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели