Номер 455 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть окружность с центром $O$ и радиусом $\rho$ построена. Расстояние от $O$ до каждой из прямых $a$, $b$ равно $\rho$, поэтому $O$ равноудалён от них и лежит на средней прямой $c$ — геометрическом месте точек, равноудалённых от двух параллельных прямых (задача 332). Расстояние между $a$ и $b$ равно $2\rho$, значит, $\rho =\frac{d}{2}$, где $d$ — расстояние между прямыми. Точка $M$ лежит на окружности: $OM=\rho$.

Построение:

1) Из точки $P$ прямой $a$ проведём перпендикуляр к $a$; он пересекает $b$ в точке $Q$, $PQ=d$. Найдём середину $S$ отрезка $PQ$.

2) Через $S$ проведём прямую $c$, параллельную $a$ (средняя прямая).

3) Проведём окружность с центром $M$ радиуса $\rho =PS$. Её точки пересечения с прямой $c$ — $O_1$ и $O_2$.

4) Окружность с центром $O_1$ (или $O_2$) радиуса $\rho$ — искомая.

Доказательство:

Точка $O_1$ лежит на $c$, которая удалена от $a$ и $b$ на $\frac{d}{2}=\rho$. Расстояние от центра до каждой прямой равно радиусу, значит, обе прямые касаются окружности (задача 343). Кроме того, $O_{1}M=\rho$, то есть $M$ лежит на окружности.

Исследование:

Пусть $h$ — расстояние от $M$ до средней прямой $c$. Окружность с центром $M$ радиуса $\rho$ пересекает $c$ тогда и только тогда, когда $h\le \rho$:

• $M$ лежит между $a$ и $b$ (в том числе на $c$): $h<\rho$, две точки пересечения — две искомые окружности;

• $M$ лежит на $a$ или на $b$: $h=\rho$, одна точка — одна окружность (она касается прямой в точке $M$);

• $M$ лежит вне полосы между $a$ и $b$: $h>\rho$, решений нет.