Номер 443 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Угол $B$ острый, поэтому прямой угол — при вершине $C$ (если он при вершине $A$, достаточно поменять названия вершин). Биссектриса $BD$ делит угол $B$ на два угла по $\frac{\beta }{2}$, поэтому прямоугольный треугольник $BCD$ известен по гипотенузе $BD=d$ и острому углу $\frac{\beta }{2}$ (задача 323 а). Вершина $A$ лежит на прямой $CD$.

Построение:

1) Построим угол $XBY$, равный $\beta$.

2) Проведём биссектрису $BZ$ этого угла.

3) Отложим на луче $BZ$ отрезок $BD=d$.

4) Из точки $D$ опустим перпендикуляр $DC$ на сторону $BX$. Прямая $CD$ пересекает сторону $BY$ в точке $A$.

5) Треугольник $ABC$ искомый.

Доказательство:

По построению $\angle C=90^{\circ }$ и $\angle ABC=\angle XBY=\beta$, то есть $ABC$ — прямоугольный треугольник с данным углом $B$. Точка $D$ лежит на прямой $CA$, а луч $BD$ — биссектриса угла $B$ и идёт внутри угла, поэтому $D$ — точка стороны $AC$. Значит, $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$ и $BD=d$.

Исследование:

Угол $\beta$ острый, поэтому луч $BY$ не перпендикулярен $BX$, и прямая $CD$, перпендикулярная $BX$, всегда его пересекает. Биссектриса и угол могут быть любыми, поэтому решение существует при любых данных. Оно единственное: $BC=d\cos \frac{\beta }{2}$ определяется по данным, а прямой угол при вершине $A$ даёт тот же треугольник с другими названиями вершин.