Номер 446 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть треугольник $ABC$ построен. Продолжим $BA$ за точку $A$ и отложим $AM=AC$, продолжим $AB$ за точку $B$ и отложим $BN=BC$. Тогда

Треугольник $AMC$ равнобедренный, и угол $CAB$ — его внешний угол, равный сумме двух внутренних, не смежных с ним:

Так же $\angle N=\frac{\beta }{2}$. Значит, треугольник $MCN$ известен по стороне $MN=PQ$ и двум прилежащим углам, а вершины $A$ и $B$ лежат на серединных перпендикулярах к $MC$ и $NC$ (ведь $AM=AC$ и $BN=BC$).

Построение:

1) На прямой отложим отрезок $MN=PQ$.

2) Разделим углы $\alpha$ и $\beta$ пополам.

3) По одну сторону от $MN$ построим угол $\frac{\alpha }{2}$ при вершине $M$ и угол $\frac{\beta }{2}$ при вершине $N$. Их стороны пересекаются в точке $C$.

4) Построим серединные перпендикуляры к $MC$ и $NC$. Они пересекают $MN$ в точках $A$ и $B$.

5) Треугольник $ABC$ искомый.

Доказательство:

Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $MC$, значит, $AM=AC$ и $\angle ACM=\angle M=\frac{\alpha }{2}$. Внешний угол $CAB$ треугольника $AMC$ равен $\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=\alpha$. Так же $BN=BC$ и $\angle CBA=\beta$. Периметр:

Исследование:

Углы $\frac{\alpha }{2}$ и $\frac{\beta }{2}$ в сумме меньше $90^{\circ }$, так что лучи из $M$ и $N$ пересекаются, а серединные перпендикуляры пересекают $MN$ (угол при $M$ острый). Угол $MCN=180^{\circ }-\frac{\alpha +\beta }{2}$ больше суммы углов $ACM+BCN=\frac{\alpha +\beta }{2}$, потому что $\alpha +\beta <180^{\circ }$. Поэтому лучи $CA$ и $CB$ лежат внутри угла $MCN$ в таком порядке, и точки идут по прямой так: $M,A,B,N$. Построение выполнимо для любых данных и даёт один треугольник.