Номер 458 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть окружность с центром $O$ вписана в угол. Её центр равноудалён от сторон угла (расстояния равны радиусу), поэтому лежит на биссектрисе угла. Радиус $OM$, проведённый в точку касания, перпендикулярен $VX$ (п. 42). Значит, $O$ — точка пересечения биссектрисы угла и перпендикуляра к $VX$ в точке $M$.

Построение:

1) Проведём биссектрису угла $XVY$.

2) Через $M$ проведём прямую, перпендикулярную $VX$; она пересекает биссектрису в точке $O$.

3) Проведём окружность с центром $O$ радиуса $OM$.

Доказательство:

Прямая $VX$ проходит через конец радиуса $OM$ и перпендикулярна ему, значит, касается окружности в точке $M$. Точка $O$ лежит на биссектрисе, поэтому равноудалена от сторон угла: расстояние от $O$ до $VY$ равно расстоянию до $VX$, то есть $OM$. Расстояние от центра до прямой $VY$ равно радиусу, поэтому $VY$ тоже касается окружности (задача 343). Окружность вписана в угол.

Исследование:

Биссектриса образует со стороной $VX$ угол, меньший $90^{\circ }$ (половина неразвёрнутого угла), поэтому она не параллельна перпендикуляру к $VX$, и точка $O$ существует и единственна. Решение всегда одно (если $M$ не совпадает с вершиной $V$).