Номер 452 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть треугольник $ABC$ построен, $\angle B>\angle C$. Продолжим $CA$ за точку $A$ и отложим $A{A}_1=AB$. Тогда

Треугольник $AB{A}_1$ равнобедренный: $\angle A_1=\angle AB{A}_1=x$, а угол $BAC$ — его внешний, $\angle BAC=2x$. Из $\angle B+\angle C=180^{\circ }-2x$ и $\angle B-\angle C=\delta$ находим

Итак, треугольник $CB{A}_1$ известен по двум сторонам $BC=a$, $C{A}_1=s$ и углу $\phi =\angle CB{A}_1=90^{\circ }+\frac{\delta }{2}$. Вершина $A$ лежит на $C{A}_1$ и на серединном перпендикуляре к $B{A}_1$ (так как $AB=A{A}_1$).

Построение:

1) Отложим отрезок $BC=a$.

2) Построим угол $\phi =90^{\circ }+\frac{\delta }{2}$: разделим угол $\delta$ пополам и прибавим к нему прямой угол. Отложим его от луча $BC$: получим луч $BK$, $\angle CBK=\phi$.

3) Окружность с центром $C$ радиуса $s$ пересекает луч $BK$ в точке $A_1$.

4) Серединный перпендикуляр к $B{A}_1$ пересекает $C{A}_1$ в точке $A$.

5) Соединим $A$ с $B$. Треугольник $ABC$ искомый.

Доказательство:

По построению $BC=a$. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $B{A}_1$, поэтому $AB=A{A}_1$ и $\angle AB{A}_1=\angle A_1=x$. Точка $A$ лежит между $C$ и $A_1$ (см. исследование), значит,

Углы треугольника $ABC$:

Исследование:

Угол $\phi$ тупой, поэтому по мере удаления от $B$ вдоль луча $BK$ расстояние до $C$ только растёт — от $a$ в точке $B$. Окружность радиуса $s$ пересекает луч в одной точке, если $s>a$ (это неравенство треугольника $AB+AC>BC$); при $s\le a$ решений нет.

В треугольнике $CB{A}_1$ против тупого угла $B$ лежит наибольшая сторона, поэтому $\angle A_1$ острый. Серединный перпендикуляр к $B{A}_1$ пересекает прямую $A_{1}C$ в точке $A$ на луче $A_{1}C$, причём $\angle AB{A}_1=\angle A_1<90^{\circ }<\angle CB{A}_1$: луч $BA$ идёт внутри угла $CB{A}_1$ и пересекает отрезок $C{A}_1$, то есть $A$ лежит между $C$ и $A_1$. Решение единственное.