Номер 448 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Точки, равноудалённые от концов отрезка $AB$, — серединный перпендикуляр $m$ к этому отрезку (следствие 1 п. 40). Искомая точка лежит и на $m$, и на данной окружности.

Построение:

1) Проведём серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$: из концов отрезка одним радиусом, большим $\frac{AB}{2}$, делаем засечки по обе стороны от $AB$ и проводим прямую через точки пересечения засечек.

2) Точки пересечения прямой $m$ с окружностью — искомые.

Доказательство:

Каждая из найденных точек лежит на окружности и на серединном перпендикуляре к $AB$, а значит, равноудалена от $A$ и $B$.

Исследование:

Решений столько же, сколько общих точек у прямой $m$ и окружности. Пусть $d$ — расстояние от центра $O$ до прямой $m$:

• $d<R$ — прямая секущая, две точки (если $OA=OB$, то $m$ проходит через центр, и это концы диаметра);

• $d=R$ — прямая касается окружности, одна точка;

• $d>R$ — общих точек нет, решений нет.

Все три случая возможны: достаточно сдвигать отрезок $AB$ (а вместе с ним и $m$) относительно окружности.