Номер 447 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка $AB$, — серединный перпендикуляр $m$ к этому отрезку (следствие 1 п. 40). Искомая точка лежит и на $m$, и на $a$.

Построение:

1) Проведём окружности одного радиуса, большего $\frac{AB}{2}$, с центрами $A$ и $B$. Прямая $m$ через точки их пересечения — серединный перпендикуляр к $AB$.

2) Точка $X$ пересечения прямых $m$ и $a$ — искомая.

Доказательство:

Точка $X$ лежит на $a$ и на серединном перпендикуляре $m$, поэтому $XA=XB$.

Исследование (всегда ли есть решение):

Нет, не всегда. Всё зависит от расположения прямых $a$ и $m$:

• $a$ не перпендикулярна $AB$ (то есть не параллельна $m$) — прямые пересекаются в одной точке, решение единственное;

• $a\perp AB$ и $a\ne m$ — прямые $a$ и $m$ параллельны (обе перпендикулярны $AB$), общих точек у них нет, и точки на $a$, равноудалённой от $A$ и $B$, не существует;

• $a=m$ (такая прямая тоже не проходит через $A$ и $B$) — подходит любая точка прямой $a$, решений бесконечно много.