Номер 457 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть искомая окружность с центром $O$ построена. Радиус $OA$ перпендикулярен $m$, поэтому $O$ лежит на перпендикуляре $p$ к $m$ в точке $A$. Окружность не может лежать по другую сторону от $m$, чем данная: тогда у них не было бы общих точек (данная окружность целиком по одну сторону от $m$ и не касается $m$). Значит, $O$ лежит по ту же сторону, что и $C$. Окружность не может лежать внутри данной (точка $A$ лежит вне данной окружности), поэтому касание либо внешнее, либо данная окружность лежит внутри искомой.

Внешнее касание: $OC=OA+r$. Отложим на $p$ отрезок $A{A}_1=r$ по другую от $O$ сторону от $m$. Тогда $O{A}_1=OA+r=OC$: окружность с центром $O$ радиуса $O{A}_1$ проходит через $C$ и касается прямой $m_1$, проведённой через $A_1$ параллельно $m$, в точке $A_1$ — такую окружность строить умеем (задача 456).

Построение (внешнее касание):

1) Через $A$ проведём прямую $p$, перпендикулярную $m$.

2) На $p$ по ту сторону от $m$, где нет данной окружности, отложим $A{A}_1=r$ и проведём через $A_1$ прямую $m_1\parallel m$.

3) Построим серединный перпендикуляр к $A_{1}C$. Он пересекает $p$ в точке $O_1$.

4) Окружность с центром $O_1$ радиуса $O_{1}A$ — искомая.

Доказательство:

Радиус $O_{1}A$ лежит на $p$, поэтому $O_{1}A\perp m$: окружность касается $m$ в точке $A$. Точка $A$ лежит между $O_1$ и $A_1$, и $O_{1}C=O_1{A}_1=O_{1}A+A{A}_1=O_{1}A+r$. Расстояние между центрами равно сумме радиусов — окружности касаются внешним образом.

Построение и доказательство (данная окружность внутри искомой):

Так же, но отрезок $A{A}_2=r$ откладывается на $p$ по ту же сторону от $m$, где лежит данная окружность, $m_2\parallel m$ проходит через $A_2$, $O_2$ — точка пересечения $p$ с серединным перпендикуляром к $A_{2}C$, окружность с центром $O_2$ радиуса $O_{2}A$.

Здесь $A_2$ лежит между $A$ и $O_2$ ($O_{2}A>r$, иначе данная окружность не вместилась бы внутрь), и $O_{2}C=O_2{A}_2=O_{2}A-A{A}_2=O_{2}A-r$. Расстояние между центрами равно разности радиусов — окружности касаются, данная окружность лежит внутри искомой.

Исследование:

Серединный перпендикуляр к $A_{1}C$ (или $A_{2}C$) пересекает $p$, если он не параллелен $p$, то есть если $A_{1}C$ не параллелен $m$, а значит, $C$ не лежит на $m_1$ ($m_2$). Точка $C$ не лежит на $m_1$: $m_1$ по другую сторону от $m$, чем данная окружность. Не лежит и на $m_2$: центр $C$ удалён от $m$ больше чем на $r$ (окружность не касается $m$). Поэтому оба построения выполнимы, и других решений нет (доказано в анализе): задача имеет два решения.