Номер 449 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Центр $O$ искомой окружности равноудалён от $A$ и $B$, поэтому лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$. Он равноудалён и от $B$ и $C$, поэтому лежит на серединном перпендикуляре $n$ к отрезку $BC$ (следствие 1 п. 40).

Построение:

1) Построим серединные перпендикуляры $m$ к $AB$ и $n$ к $BC$.

2) Точка $O$ пересечения $m$ и $n$ — центр.

3) Проведём окружность с центром $O$ радиуса $OA$.

Доказательство:

Так как $O\in m$, то $OA=OB$. Так как $O\in n$, то $OB=OC$. Значит,

и окружность с центром $O$ радиуса $OA$ проходит через все три точки.

Исследование (всегда ли есть решение):

• Если точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой, то они — вершины треугольника, и серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (следствие 2 п. 40). Центр $O$ найден, и он единственный: любая окружность через три точки имеет центр на $m$ и на $n$. Решение одно.

• Если точки лежат на одной прямой, то $m\perp AB$ и $n\perp BC$ перпендикулярны одной и той же прямой, значит, $m\parallel n$. Общих точек у них нет (прямые различны, так как середины $AB$ и $BC$ разные), центра нет, и окружности через такие три точки не существует.