Номер 460 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть центр $O$ лежит на катете $CA$, окружность проходит через $C$ и касается $AB$. Её радиус равен $OC$, и он же равен расстоянию от $O$ до гипотенузы $AB$. Так как $OC\perp BC$ (катеты перпендикулярны), расстояние от $O$ до прямой $BC$ тоже равно $OC$. Значит, $O$ равноудалён от сторон угла $B$ и лежит на его биссектрисе.

Построение:

1) Проведём биссектрису угла $B$. Она пересекает катет $CA$ в точке $O$.

2) Проведём окружность с центром $O$ радиуса $OC$.

Доказательство:

Окружность проходит через $C$. Так как $OC\perp BC$, расстояние от $O$ до $BC$ равно $OC$. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, поэтому равноудалена от $BC$ и $BA$: расстояние от $O$ до $AB$ тоже равно $OC$. Расстояние от центра до гипотенузы равно радиусу — гипотенуза касается окружности (задача 343).

Исследование:

Биссектриса угла $B$ идёт внутри угла и пересекает противоположную сторону $CA$ во внутренней точке, поэтому окружность существует. Другой окружности с центром на $CA$ нет: такой центр равноудалён от прямых $BC$ и $BA$, то есть лежит на биссектрисе угла $B$ или на перпендикулярной ей прямой, проходящей через $B$ (задача 331); эта вторая прямая не имеет общих точек с отрезком $CA$, потому что все внутренние точки отрезка лежат внутри угла $B$. Так же строится окружность с центром на катете $CB$ (биссектриса угла $A$). Всего две окружности — по одной для каждого катета.