Номер 451 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Три прямые пересекаются попарно в трёх разных точках $A$, $B$, $C$ (если бы две точки совпали, все три прямые прошли бы через одну точку), и образуют треугольник $ABC$.

Точка, равноудалённая от прямых $AB$ и $BC$, лежит на одной из двух взаимно перпендикулярных прямых $b_1$, $b_2$ через $B$: на биссектрисе угла $B$ треугольника или на биссектрисе внешнего угла (задача 331). Точка, равноудалённая от $BC$ и $CA$, лежит на $c_1$ или $c_2$ — таких же прямых через $C$.

Точка равноудалена от всех трёх прямых тогда и только тогда, когда она лежит на одной из $b_1$, $b_2$ и на одной из $c_1$, $c_2$ (равноудалённая от $AB$ и $BC$ и от $BC$ и $CA$ равноудалена и от $AB$ и $CA$).

Построение:

1) Через $B$ проведём биссектрису $b_1$ угла $B$ и перпендикулярную ей прямую $b_2$ (биссектрису внешнего угла).

2) Так же через $C$ проведём $c_1$ и $c_2$.

3) Точки пересечения прямых $b_1$, $b_2$ с прямыми $c_1$, $c_2$ — искомые: $K=b_1\cap c_1$ (центр вписанной окружности, внутри треугольника) и три точки вне треугольника $K_1=b_2\cap c_2$, $K_2=b_1\cap c_2$, $K_3=b_2\cap c_1$.

Доказательство:

Каждая точка лежит на одной из прямых $b_i$, поэтому равноудалена от $AB$ и $BC$, и на одной из $c_j$, поэтому равноудалена от $BC$ и $CA$ — значит, она равноудалена от всех трёх прямых.

Исследование (сколько решений):

Всего пар $(b_i,c_j)$ четыре. Покажем, что в каждой паре прямые пересекаются и что четыре точки пересечения различны. Биссектрисы $b_1$ и $c_1$ углов $B$ и $C$ пересекаются внутри треугольника в точке $K$, и

так как $\angle B+\angle C<180^{\circ }$. Значит, $b_1$ и $c_1$ не перпендикулярны. Отсюда:

• $b_1$ не параллельна $c_2$ (иначе из $c_2\perp c_1$ было бы $b_1\perp c_1$); так же $b_2$ не параллельна $c_1$;

• $b_2$ не параллельна $c_2$ (иначе из $b_1\perp b_2$ и $c_1\perp c_2$ было бы $b_1\parallel c_1$, а они пересекаются).

Две из четырёх точек могли бы совпасть только в точке $B$ (общей для $b_1$ и $b_2$) или в точке $C$, но $B$ не лежит на прямых $c_1$, $c_2$, а $C$ — на $b_1$, $b_2$. Значит, получаются ровно четыре различные точки, и других нет.