Номер 454 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Пусть окружности лежат вне друг друга: $O_1{O}_2>R+r$ (случай, когда одна окружность внутри другой, разобран в конце).

Анализ (общая касательная, окружности по одну сторону от неё):

Пусть $AB$ — общая касательная, $A$ и $B$ — точки касания. Радиусы $O_{1}A$ и $O_{2}B$ перпендикулярны $AB$. Отметим на радиусе $O_{1}A$ точку $K$ с $AK=r$; тогда $O_{1}K=R-r$. Точки $K$ и $O_2$ удалены от прямой $AB$ на $r$ и лежат по одну сторону от неё, поэтому лежат на одной прямой, параллельной $AB$ (задача 291). Тогда $K{O}_2\parallel AB$ и, так как $O_{1}A\perp AB$, получаем

Значит, точка $K$ лежит на окружности с диаметром $O_1{O}_2$ (угол, опирающийся на диаметр, прямой) и на окружности с центром $O_1$ радиуса $R-r$ — её можно построить.

Построение (внешняя касательная):

1) Проведём окружность с центром $O_1$ радиуса $R-r$.

2) Построим середину $C$ отрезка $O_1{O}_2$ и окружность с центром $C$ радиуса $C{O}_1$. Она пересекает окружность из пункта 1 в точке $K$.

3) Проведём луч $O_{1}K$; он пересекает данную окружность радиуса $R$ в точке $A$.

4) Через $A$ проведём прямую $t$, перпендикулярную $O_{1}A$. Это искомая касательная.

Доказательство:

Прямая $t$ перпендикулярна радиусу $O_{1}A$ в его конце, значит, касается окружности с центром $O_1$ (п. 42). Так как $\angle O_{1}K{O}_2=90^{\circ }$ (угол опирается на диаметр), $K{O}_2\perp O_{1}A$, то есть $K{O}_2\parallel t$. Все точки прямой $K{O}_2$ удалены от $t$ на одно и то же расстояние, равное $AK$:

Расстояние от центра $O_2$ до прямой $t$ равно радиусу, поэтому $t$ касается и второй окружности (задача 343).

Построение и доказательство (внутренняя касательная, окружности по разные стороны от неё):

Так же, но вспомогательная окружность с центром $O_1$ имеет радиус $R+r$ (она пересекает окружность на диаметре $O_1{O}_2$, так как $R+r<O_1{O}_2$). Точка $K$ — точка их пересечения, $A$ — точка пересечения $O_{1}K$ с данной окружностью радиуса $R$, $t\perp O_{1}A$ в точке $A$.

Здесь точка $A$ лежит между $O_1$ и $K$, $AK=O_{1}K-O_{1}A=r$. Снова $K{O}_2\perp O_{1}K$, $K{O}_2\parallel t$, расстояние от $O_2$ до $t$ равно $AK=r$, и $t$ касается второй окружности. Точки $O_2$ и $K$ лежат по одну сторону от $t$ (отрезок $K{O}_2$ параллелен $t$), а $O_1$ — по другую ($A$ между $O_1$ и $K$): окружности расположены по разные стороны от $t$.

Сколько касательных:

Каждая общая касательная даёт точку $K$ (по ней строится так, как в анализе), а $K$ определяет касательную. Окружность с центром $O_1$ радиуса $R-r$ пересекается с окружностью на диаметре $O_1{O}_2$ в двух точках, симметричных относительно $O_1{O}_2$: две внешние касательные. Столько же даёт радиус $R+r$: две внутренние касательные. Всего их четыре. (Если $R=r$, внешние касательные проводятся параллельно $O_1{O}_2$ на расстоянии $R$, внутренние строятся так же — тоже четыре.)

Если одна окружность лежит внутри другой, общих касательных нет: касательная к большей окружности вся лежит вне её, а меньшая окружность — внутри большей.