Номер 442 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Построение:

1) Проведём прямую $m$ и отметим на ней точку $H$.

2) Через $H$ проведём прямую, перпендикулярную $m$, и отложим на ней от $H$ отрезок $HA=h$.

3) Проведём окружность с центром $A$ радиуса $a$ и окружность с центром $A$ радиуса $b$. Первая пересекает $m$ в точке $B$, вторая — в точке $C$ (берём их по разные стороны от $H$).

4) Соединим $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ искомый.

Доказательство:

По построению $AB=a$, $AC=b$. Сторона $BC$ лежит на прямой $m$, и $AH\perp m$, поэтому $AH$ — высота к стороне $BC$ и $AH=h$.

Исследование:

Окружности пересекают прямую $m$, только если их радиусы не меньше расстояния от $A$ до $m$, то есть при $a\ge h$ и $b\ge h$. При $a>h$ и $b>h$ точки $B$ и $C$ можно выбрать по одну сторону от $H$ или по разные — при $a\ne b$ это даёт два неравных треугольника. Если $a<h$ или $b<h$, задача решений не имеет.