Номер 456 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть окружность с центром $O$ построена. Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $m$ (п. 42): центр $O$ лежит на прямой $b$, перпендикулярной $m$ и проходящей через $A$. Так как $B$ лежит на окружности, $OA=OB$, и $O$ лежит на серединном перпендикуляре $p$ к отрезку $AB$ (следствие 1 п. 40).

Построение:

1) Проведём прямую $b$ через $A$, перпендикулярную $m$.

2) Построим серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$.

3) Точка $O$ пересечения $b$ и $p$ — центр.

4) Проведём окружность с центром $O$ радиуса $OA$.

Доказательство:

Так как $O\in p$, то $OB=OA$, и окружность проходит через $B$. Так как $O\in b$, то $OA\perp m$: прямая $m$ проходит через конец радиуса $OA$ и перпендикулярна ему, значит, $m$ — касательная, а $A$ — точка касания.

Исследование:

Прямые $b$ и $p$ пересекаются. Если бы $b\parallel p$, то из $b\perp m$ следовало бы $p\perp m$, а так как $p\perp AB$, прямые $m$ и $AB$ (обе перпендикулярны $p$) были бы параллельны. Но у них общая точка $A$, значит, они совпали бы, и $B$ лежала бы на $m$ — противоречие с условием. Точка пересечения одна, поэтому окружность единственная. (Это та же задача, что №401.)