Номер 444 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть искомая прямая построена: $B$ — середина отрезка $AC$. Продолжим $OB$ за точку $B$ и отложим $BD=OB$. Тогда $OD=2OB=2R$. Треугольники $ABD$ и $CBO$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB=CB$, $BD=BO$, углы при $B$ вертикальные), поэтому

Итак, точка $D$ отстоит от $A$ на $R$ и от $O$ на $2R$: её можно построить, а потом найти $B$ как середину $OD$.

Построение:

1) Построим треугольник $OAD$ со сторонами $OA$ (данная), $AD=R$ и $OD=2R$: проведём окружность с центром $O$ радиуса $2R$ (радиус отложим от $O$ на луче дважды) и окружность с центром $A$ радиуса $R$; точка их пересечения — $D$.

2) Найдём середину $B$ отрезка $OD$.

3) Проведём прямую $AB$; она пересекает окружность в точке $B$ и ещё в одной точке $C$.

Доказательство:

Так как $B$ — середина $OD$, то $OB=\frac{OD}{2}=R$, и точка $B$ лежит на окружности. Отложим на луче $AB$ за точкой $B$ отрезок $B{C}^{\prime }=AB$. Треугольники $ABD$ и $C^{\prime }BO$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB=C^{\prime }B$, $BD=BO$, вертикальные углы), значит

Точка $C^{\prime }$ лежит на окружности и на прямой $AB$ и отлична от $B$. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках, поэтому $C^{\prime }$ — вторая точка пересечения, то есть $C^{\prime }=C$. Отсюда $AB=BC$.

Исследование:

Треугольник $OAD$ существует, если выполняется неравенство треугольника для сторон $OA$, $R$, $2R$, то есть при $R\le OA\le 3R$. Точка $A$ вне окружности, поэтому $OA>R$ выполнено, и всё зависит от $OA$:

• $OA<3R$ — окружности радиусов $2R$ и $R$ пересекаются в двух точках $D$, симметричных относительно $OA$: две прямые;

• $OA=3R$ — окружности касаются, точка $D$ лежит на $OA$: одна прямая (она проходит через центр);

• $OA>3R$ — окружности не пересекаются, решений нет.