Номер 459 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

острый угол с вершиной $V$

точка $A$ внутри угла

Построить:

точки $B$ и $C$ на сторонах угла, при которых $P_{A BC}$ наименьший

Чертёж к задаче 459 — острый угол с вершиной V, точка A внутри, симметричные ей точки M и K, прямая MK и точки B и C на сторонах угла

Построение:

1) Построим точку $M$ , симметричную $A$ относительно одной стороны угла, и точку $K$ , симметричную $A$ относительно другой (задача 375: опускаем перпендикуляр из $A$ на сторону и откладываем за основанием равный отрезок).

2) Прямая $M K$ пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$ . Это искомые точки.

Доказательство:

Сторона угла — серединный перпендикуляр к отрезку $A M$ , поэтому её точка $B$ равноудалена от $A$ и $M$ : $A B = MB$ (следствие 1 п. 40). Так же $A C = K C$ . Точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $M K$ (см. исследование), поэтому

P_{A BC} = A B + BC + C A = MB + BC + C K = M K

Возьмём любые другие точки $B^{'}$ и $C^{'}$ на сторонах угла. Для них так же $A B^{'} = M B^{'}$ , $A C^{'} = K C^{'}$ , и периметр равен длине ломаной $M B^{'} C^{'} K$ :

P_{A B^{'} C^{'}} = M B^{'} + B^{'} C^{'} + C^{'} K \geq M K

Ломаная не короче отрезка, соединяющего её концы, а равенство бывает, только если $B^{'}$ и $C^{'}$ лежат на отрезке $M K$ , то есть совпадают с $B$ и $C$ . Значит, периметр $A BC$ наименьший.

Исследование:

Вершина $V$ лежит на обеих осях симметрии, поэтому $V M = V A = V K$ . Если угол между сторонами равен $φ$ , а $A$ отстоит от первой стороны на угол $α$ , то $∠ M V K = α + φ + (φ - α) = 2 φ$ . Угол острый, $2 φ < 18 0^{\circ}$ , поэтому лучи — стороны угла идут внутри угла $M V K$ и пересекают отрезок $M K$ в порядке $M, B, C, K$ . Для тупого угла это не так, и построение не работает. Решение единственное.

Ответ: $B$ и $C$ — точки пересечения прямой $M K$ со сторонами угла, где $M$ и $K$ симметричны $A$ относительно сторон угла; наименьший периметр равен $M K$ .

Номер 459 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели