Номер 445 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть треугольник $ABC$ построен: $\angle A=\alpha$, $BH\perp AC$, $BH=h$. Прямоугольный треугольник $ABH$ известен по катету $BH=h$ и противолежащему острому углу $\angle A=\alpha$ (задача 323 б) — значит, известны сторона $AB$ и луч $AH$, на котором лежит $AC$. Периметр равен $PQ$, поэтому

Отложим на луче $AH$ отрезок $AD=PQ-AB$. Тогда $AC+CD=AC+CB$, то есть $CD=CB$: вершина $C$ равноудалена от $B$ и $D$ и лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$ (следствие 1 п. 40).

Построение:

1) Построим прямоугольный треугольник $ABH$ с катетом $BH=h$ и углом $A=\alpha$: прямой угол с вершиной $H$, на одной стороне $HB=h$, затем угол $HBA=90^{\circ }-\alpha$.

2) На луче $AH$ отложим отрезок $AD=PQ-AB$ (разность отрезков $PQ$ и $AB$).

3) Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $BD$; он пересекает луч $AD$ в точке $C$.

4) Соединим $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ искомый.

Доказательство:

Угол $A$ равен $\alpha$ и $BH=h$ — высота (точка $H$ лежит на прямой $AC$), по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, значит, $CB=CD$. Точка $C$ лежит между $A$ и $D$, поэтому

Исследование:

Чтобы отрезок $AD$ существовал, нужно $PQ>AB$. Точка $C$ лежит между $A$ и $D$ тогда и только тогда, когда в треугольнике $ABD$ угол при вершине $B$ больше угла при вершине $D$ (ведь $\angle CBD=\angle D$), то есть когда $AD>AB$, или

Это условие и необходимо: в треугольнике $ABC$ по неравенству треугольника $AC+CB>AB$, поэтому $PQ=AB+AC+CB>2AB$. Итак, при $PQ>2AB$ есть ровно одно решение, при $PQ\le 2AB$ решений нет. Если данный угол $A$ тупой, точка $H$ лежит на продолжении $CA$ за $A$, и отрезок $AD$ откладывается по лучу, противоположному лучу $AH$ — дальше всё так же.