Номер 453 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№453. Даны две равные окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ , имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая $m$ является касательной к каждой из них в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что отрезок $A B$ равен отрезку $O_{1} O_{2}$ .

Дано:

окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ и равными радиусами $r$

окружности касаются: у них одна общая точка

прямая $m$ касается первой в точке $A$ , второй в точке $B$ ( $A \neq = B$ )

Доказать:

$A B = O_{1} O_{2}$

Чертёж к задаче 453 — две равные касающиеся окружности, общая касательная m, радиусы O1A и O2B и отрезок O1B

Доказательство:

1) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (п. 42):

O_{1} A ⊥ m, O_{2} B ⊥ m \Rightarrow O_{1} A ∥ O_{2} B

Радиусы равных окружностей равны: $O_{1} A = O_{2} B = r$ .

2) Центры $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по одну сторону от прямой $m$ . Если бы они лежали по разные стороны, то каждая окружность лежала бы в своей полуплоскости, и единственная общая точка окружностей находилась бы на самой прямой $m$ . Но на $m$ у первой окружности только точка $A$ , у второй только $B$ , и получилось бы $A = B$ , а в условии это разные точки.

3) Проведём отрезок $O_{1} B$ . Параллельные прямые $O_{1} A$ и $O_{2} B$ пересечены секущей $O_{1} B$ , поэтому накрест лежащие углы равны:

∠ A O_{1} B = ∠ O_{2} B O_{1}

4) Треугольники $A O_{1} B$ и $O_{2} B O_{1}$ равны по двум сторонам и углу между ними:

O_{1} A = B O_{2}, O_{1} B - общая, ∠ A O_{1} B = ∠ O_{2} B O_{1}

Из равенства треугольников следует равенство третьих сторон:

A B = O_{2} O_{1}

Ответ: $A B = O_{1} O_{2}$ — что и требовалось доказать.

Номер 453 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели