Номер 450 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — две взаимно перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$, проходящие через $S$ и содержащие биссектрисы четырёх углов, образованных $a$ и $b$ (задача 331). Искомые точки лежат на $l_1$ или $l_2$ и на данной окружности.

Построение:

1) Проведём биссектрису $l_1$ одного из углов между прямыми $a$ и $b$ (она содержит и биссектрису вертикального угла).

2) Через точку $S$ проведём прямую $l_2$, перпендикулярную $l_1$ (это биссектриса смежных углов).

3) Точки пересечения $l_1$ и $l_2$ с окружностью — искомые.

Доказательство:

Каждая из найденных точек лежит на окружности и на одной из прямых $l_1$, $l_2$, поэтому равноудалена от $a$ и $b$.

Исследование:

Каждая из прямых $l_1$ и $l_2$ имеет с окружностью не более двух общих точек (две, одна или ни одной), поэтому всего решений не больше четырёх. Если окружность проходит через точку $S$, эта точка равноудалена от прямых (расстояния равны нулю) и тоже является решением; она лежит на обеих прямых и считается один раз. Все пять случаев возможны, и зависят только от расположения окружности:

• 4 — окружность пересекает обе прямые в двух точках;

• 3 — одну прямую пересекает в двух точках, другой касается;

• 2 — пересекает одну прямую в двух точках и не имеет общих точек с другой;

• 1 — касается одной прямой и не имеет общих точек с другой;

• 0 — не имеет общих точек ни с одной из прямых.