Номер 461 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Анализ:

Пусть $KM$ — искомая хорда, $AK>AM$. Отметим на ней точку $X$ с $KX=AM$. Тогда $X$ лежит между $K$ и $A$ и

Пусть $N$ — середина хорды $KM$. Так как $KN=NM$ и $KX=AM$, то $XN=KN-KX=NM-AM=NA$: точка $N$ — середина отрезка $XA$. Отрезок $ON$ перпендикулярен хорде (п. 41), значит, $ON$ — серединный перпендикуляр к $XA$ и

(если хорда проходит через центр, то $N=O$ — середина $XA$, и равенство также верно). Итак, точка $X$ отстоит от $A$ на $PQ$ и от $O$ на $OA$ — её можно построить.

Построение:

1) Проведём окружность с центром $O$ радиуса $OA$.

2) Проведём окружность с центром $A$ радиуса $PQ$. Точка их пересечения — $X$.

3) Прямая $AX$ пересекает данную окружность в двух точках: $K$ по ту же сторону от $A$, что и $X$, и $M$ по другую. Хорда $KM$ искомая.

Доказательство:

Так как $OX=OA$, треугольник $OXA$ равнобедренный, и перпендикуляр $ON$ из $O$ на прямую $XA$ попадает в середину $N$ отрезка $XA$. Прямая $XA$ содержит хорду $KM$, а перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому $N$ — и середина $KM$, $KN=NM$. Точка $X$ лежит внутри окружности ($OX=OA$ меньше радиуса), так что прямая $AX$ действительно пересекает окружность в двух точках. Так как $N$ — середина и $XA$, и $KM$, а $A$ лежит внутри окружности, точки расположены в порядке $K,X,N,A,M$. Тогда

Исследование:

Окружности радиусов $OA$ и $PQ$ с центрами в $O$ и $A$ (расстояние между центрами $OA$) пересекаются, если $|OA-PQ|\le OA\le OA+PQ$, то есть при $PQ\le 2OA$:

• $PQ<2OA$ — две точки $X$, симметричные относительно $OA$: две хорды;

• $PQ=2OA$ — одна точка $X$ на прямой $OA$: хорда — диаметр через $A$;

• $PQ>2OA$ — решений нет.

Если $A=O$, то $AK=AM$ для любой хорды, и при $PQ\ne 0$ решений нет.