Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 39, §8
№64. Средний рост учащихся в классе — 165 см. Медиана роста равна 168 см.
а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см?
б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см?
в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см?
г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?
Дано:
средний рост учащихся класса 165 см; медиана роста 168 см
Найти:
а) не меньше половины выше 165 см? б) не меньше половины выше 168 см? в) есть ученик выше 165 и ниже 168 см? г) есть ученик ростом ровно 168 см?
Медиана 168 см означает: если выстроить учеников по росту, то посередине окажется рост 168 см. Поэтому не меньше половины учеников имеют рост не ниже 168 см (и не меньше половины — не выше 168 см). А вот среднее арифметическое 165 см ничего подобного не гарантирует.
а) Да, обязательно. Не меньше половины учеников имеют рост не ниже 168 см, а 168 больше 165. Значит, все эти ученики выше 165 см, и их не меньше половины.
б) Нет, не обязательно. Ученики ростом ровно 168 см тоже входят в «половину не ниже 168», но выше 168 они не являются. Пример 1 из таблицы ниже: рост 156, 168 и 171 см. Среднее , медиана 168 — всё как в условии, но выше 168 см только один ученик из трёх, то есть меньше половины. (Если бы спрашивали «не ниже 168 см», ответ был бы «да».)
в) Нет, не обязательно. В том же примере 1 нет учеников выше 165 и ниже 168 см: рост 156, 168, 171.
г) Нет, не обязательно. Если учеников чётное число, медиана — среднее двух средних значений роста и может не совпасть ни с чьим ростом. Пример 2: рост 150, 166, 170 и 174 см. Среднее , медиана , но ученика ростом ровно 168 см нет.
| Пример | Рост учеников, см | Среднее | Медиана |
|---|---|---|---|
| 1 | 156, 168, 171 | 165 | 168 |
| 2 | 150, 166, 170, 174 | 165 | 168 |
Замечание. В ответах учебника напечатано «а) нет; б) да». По нашему разбору порядок обратный: в пункте а) ответ «да» следует прямо из определения медианы. Ответ «да» в пункте б) получился бы, если понимать «выше 168 см» как «не ниже 168 см». Пункты в) и г) совпадают с учебником.
Ответ: а) да; б) нет (не обязательно: пример 156, 168, 171 см); в) нет (тот же пример); г) нет (пример 150, 166, 170, 174 см). В учебнике для а) и б) указано «нет» и «да» — см. замечание выше.
