Номер 533 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — квадрат.

Точка $M$ лежит на диагонали $A C$ .

$A M = A B$ .

Прямая $M H ⊥ A C$ , точка $H \in BC$ .

Доказать:

$B H = H M = MC$ .

Доказательство:

1) Проведём отрезок $A H$ . Рассмотрим треугольники $A B H$ и $A M H$ .

Так как $A BC D$ — квадрат, угол $B = 9 0^{\circ}$ . Следовательно, треугольник $A B H$ — прямоугольный.

По условию $M H ⊥ A C$ , значит угол $M$ в треугольнике $A M H$ также равен $9 0^{\circ}$ .

В этих прямоугольных треугольниках:

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Следовательно, равны и их вторые катеты:

B H = H M .

2) Теперь рассмотрим треугольник $M H C$ .

Он прямоугольный, так как $M H ⊥ A C$ ( $∠ M = 9 0^{\circ}$ ).

В квадрате диагональ делит прямой угол пополам, поэтому угол $∠ C$ (то есть $∠ MC H$ ) равен $4 5^{\circ}$ .

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $9 0^{\circ}$ . Найдём второй острый угол:

∠ M H C = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .

3) Так как в треугольнике $M H C$ два угла равны ( $∠ M H C = ∠ MC H = 4 5^{\circ}$ ), он является равнобедренным.

Его катеты равны между собой:

H M = MC .

4) Объединяя равенства из первого и третьего пунктов, получаем:

B H = H M, H M = MC \Rightarrow B H = H M = MC .

Вывод: Все три отрезка равны между собой. Что и требовалось доказать.