№531. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
Дано:
.
— произвольная точка на стороне .
— середина отрезка ().
и — середины сторон и .
Доказать:
Точка лежит на отрезке (т.е. ).
Доказательство:
1) Отрезок соединяет середины сторон и . По определению, он является средней линией треугольника .
По свойству средней линии треугольника, отрезок параллелен основанию :
2) Теперь рассмотрим треугольник .
В этом треугольнике через точку (середину стороны ) проходит прямая .
Поскольку , то часть этой прямой параллельна и отрезку (ведь точка лежит на ). То есть луч параллелен .
3) Вспомним теорему Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла.
В нашем случае (для угла ): прямая параллельна и делит сторону пополам (). Следовательно, она должна делить и сторону пополам.
4) Значит, прямая пересекает отрезок точно в его середине.
По условию задачи, середина отрезка — это точка . Значит, прямая проходит через точку .
Вывод: Середина отрезка (точка ) лежит на отрезке , соединяющем середины двух других сторон. Что и требовалось доказать.
