Номер 530 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — ромб.

$A C \cap B D = O$ (точка пересечения диагоналей).

$O K, O L, OM, ON$ — перпендикуляры, опущенные из точки $O$ на стороны ромба.

Доказать:

Точка $O$ равноудалена от сторон ромба, то есть:

O K = O L = OM = ON .

Доказательство:

Чертёж к задаче 530 — точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон

1) Вспомним свойство ромба: его диагонали являются биссектрисами его углов.

Значит, диагональ $A C$ делит угол $A$ пополам, поэтому $∠ O A K = ∠ O A N$ .

2) Рассмотрим треугольники $A O K$ и $A ON$ .

Так как $O K ⊥ A B$ и $ON ⊥ A D$ , эти треугольники являются прямоугольными.

В этих треугольниках:

Гипотенуза $A O$ — общая.
Острые углы равны ( $∠ O A K = ∠ O A N$ ).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, их катеты также равны:

O K = ON .

3) Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $BO K$ и $BO L$ .

Диагональ $B D$ — биссектриса угла $B$ , поэтому $∠ OB K = ∠ OB L$ . Гипотенуза $BO$ — общая. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу, откуда:

O K = O L .

4) Рассматривая треугольники $CO L$ и $COM$ , точно так же докажем, что:

O L = OM .

5) Объединяя полученные равенства, делаем вывод:

O K = ON, O K = O L, O L = OM \Rightarrow O K = O L = OM = ON .

Вывод: Все перпендикуляры, опущенные из точки пересечения диагоналей на стороны ромба, равны. Значит, эта точка равноудалена от сторон ромба. Что и требовалось доказать.

Номер 530 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели